Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
S2O6(O2)2- Mn2+ H2O MnO4- SO42- H+
a b c p q r
S 2 1
O 8 1 4 4
Mn 1 1
H 2 1
náboj -2 2 -1 -2 1

Bilance prvků

S: + 2·a = + 1·q
O: + 6·a + 2·a + 1·c = + 4·p + 4·q
Mn: + 1·b = + 1·p
H: + 2·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

-2·a +2·b +0·c = -1·p -2·q +1·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 2*a== + 1*q,
 + 6*a + 2*a + 1*c== + 4*p + 4*q,
 + 1*b== + 1*p,
 + 2*c== + 1*r,
 -2*a +2*b +0*c== -1*p -2*q +1*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 5; b = 2; c = 8; p = 2; q = 10; r = 16

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-8-7.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
-2,0,0,8,2;
2,0,1,0,0;
0,2,0,1,0;
-1,0,1,4,0;
-2,0,0,4,1;
1,1,0,0,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  -2   0   0   8   2
   2   0   1   0   0
   0   2   0   1   0
  -1   0   1   4   0
  -2   0   0   4   1
   1   1   0   0   0

hodnost = 5
b =

  -2   2   0  -1  -2   1
   0   0   2   0   0   1
   0   1   0   1   0   0
   8   0   1   4   4   0
   2   0   0   0   1   0

c =

  -0.234920
  -0.093968
  -0.375873
   0.093968
   0.469841
   0.751746

reseni =

   1.00000   0.40000   1.60000  -0.40000  -2.00000  -3.20000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{-2,0,0,8,2},
{2,0,1,0,0},
{0,2,0,1,0},
{-1,0,1,4,0},
{-2,0,0,4,1},
{1,1,0,0,0}}
NullSpace[Transpose[m]]