Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
Fe2+ Cr2O72- H+ Cr3+ Fe3+ H2O
a b c p q r
Fe 1 1
Cr 2 1
O 7 1
H 1 2
náboj 2 -2 1 3 3

Bilance prvků

Fe: + 1·a = + 1·q
Cr: + 2·b = + 1·p
O: + 7·b = + 1·r
H: + 1·c = + 2·r

Bilance elektronů (náboje)

+2·a -2·b +1·c = +3·p +3·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*q,
 + 2*b== + 1*p,
 + 7*b== + 1*r,
 + 1*c== + 2*r,
 +2*a -2*b +1*c== +3*p +3*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 18; b = 3; c = 42; p = 6; q = 18; r = 21

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-8-13.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
2,0,1,0,0;
-2,2,0,0,7;
1,0,0,1,0;
3,1,0,0,0;
3,0,1,0,0;
0,0,0,2,1]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

   2   0   1   0   0
  -2   2   0   0   7
   1   0   0   1   0
   3   1   0   0   0
   3   0   1   0   0
   0   0   0   2   1

hodnost = 5
b =

   2  -2   1   3   3   0
   0   2   0   1   0   0
   1   0   0   0   1   0
   0   0   1   0   0   2
   0   7   0   0   0   1

c =

  -0.334367
  -0.055728
  -0.780189
   0.111456
   0.334367
   0.390095

reseni =

   1.00000   0.16667   2.33333  -0.33333  -1.00000  -1.16667

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{2,0,1,0,0},
{-2,2,0,0,7},
{1,0,0,1,0},
{3,1,0,0,0},
{3,0,1,0,0},
{0,0,0,2,1}}
NullSpace[Transpose[m]]