Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
Fe2+ Pb2PbO4 H+ Fe3+ Pb2+ H2O
a b c p q r
Fe 1 1
Pb 3 1
O 4 1
H 1 2
náboj 2 1 3 2

Bilance prvků

Fe: + 1·a = + 1·p
Pb: + 2·b + 1·b = + 1·q
O: + 4·b = + 1·r
H: + 1·c = + 2·r

Bilance elektronů (náboje)

+2·a +0·b +1·c = +3·p +2·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*p,
 + 2*b + 1*b== + 1*q,
 + 4*b== + 1*r,
 + 1*c== + 2*r,
 +2*a +0*b +1*c== +3*p +2*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 2; b = 1; c = 8; p = 2; q = 3; r = 4

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-7-8.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
2,1,0,0,0;
0,0,0,4,3;
1,0,1,0,0;
3,1,0,0,0;
2,0,0,0,1;
0,0,2,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  2  1  0  0  0
  0  0  0  4  3
  1  0  1  0  0
  3  1  0  0  0
  2  0  0  0  1
  0  0  2  1  0

hodnost = 5
b =

  2  0  1  3  2  0
  1  0  0  1  0  0
  0  0  1  0  0  2
  0  4  0  0  0  1
  0  3  0  0  1  0

c =

  -0.20203
  -0.10102
  -0.80812
   0.20203
   0.30305
   0.40406

reseni =

   1.00000   0.50000   4.00000  -1.00000  -1.50000  -2.00000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{2,1,0,0,0},
{0,0,0,4,3},
{1,0,1,0,0},
{3,1,0,0,0},
{2,0,0,0,1},
{0,0,2,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]