Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
HSO3- Cr2O72- H+ HSO4- Cr3+ H2O
a b c p q r
H 1 1 1 2
S 1 1
O 3 7 4 1
Cr 2 1
náboj -1 -2 1 -1 3

Bilance prvků

H: + 1·a + 1·c = + 1·p + 2·r
S: + 1·a = + 1·p
O: + 3·a + 7·b = + 4·p + 1·r
Cr: + 2·b = + 1·q

Bilance elektronů (náboje)

-1·a -2·b +1·c = -1·p +3·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a + 1*c== + 1*p + 2*r,
 + 1*a== + 1*p,
 + 3*a + 7*b== + 4*p + 1*r,
 + 2*b== + 1*q,
 -1*a -2*b +1*c== -1*p +3*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 3; b = 1; c = 8; p = 3; q = 2; r = 4

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-7-7.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
-1,0,1,3,1;
-2,2,0,7,0;
1,0,1,0,0;
-1,0,1,4,1;
3,1,0,0,0;
0,0,2,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  -1   0   1   3   1
  -2   2   0   7   0
   1   0   1   0   0
  -1   0   1   4   1
   3   1   0   0   0
   0   0   2   1   0

hodnost = 5
b =

  -1  -2   1  -1   3   0
   0   2   0   0   1   0
   1   0   1   1   0   2
   3   7   0   4   0   1
   1   0   0   1   0   0

c =

  -0.295599
  -0.098533
  -0.788263
   0.295599
   0.197066
   0.394132

reseni =

   1.00000   0.33333   2.66667  -1.00000  -0.66667  -1.33333

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{-1,0,1,3,1},
{-2,2,0,7,0},
{1,0,1,0,0},
{-1,0,1,4,1},
{3,1,0,0,0},
{0,0,2,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]