Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
MnO4- SO32- H2O MnO2 SO42- OH-
a b c p q r
Mn 1 1
O 4 3 1 2 4 1
S 1 1
H 2 1
náboj -1 -2 -2 -1

Bilance prvků

Mn: + 1·a = + 1·p
O: + 4·a + 3·b + 1·c = + 2·p + 4·q + 1·r
S: + 1·b = + 1·q
H: + 2·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

-1·a -2·b +0·c = +0·p -2·q -1·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*p,
 + 4*a + 3*b + 1*c== + 2*p + 4*q + 1*r,
 + 1*b== + 1*q,
 + 2*c== + 1*r,
 -1*a -2*b +0*c== +0*p -2*q -1*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 2; b = 3; c = 1; p = 2; q = 3; r = 2

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-7-6.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
-1,0,1,4,0;
-2,0,0,3,1;
0,2,0,1,0;
0,0,1,2,0;
-2,0,0,4,1;
-1,1,0,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  -1   0   1   4   0
  -2   0   0   3   1
   0   2   0   1   0
   0   0   1   2   0
  -2   0   0   4   1
  -1   1   0   1   0

hodnost = 5
b =

  -1  -2   0   0  -2  -1
   0   0   2   0   0   1
   1   0   0   1   0   0
   4   3   1   2   4   1
   0   1   0   0   1   0

c =

  -0.35921
  -0.53882
  -0.17961
   0.35921
   0.53882
   0.35921

reseni =

   1.00000   1.50000   0.50000  -1.00000  -1.50000  -1.00000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{-1,0,1,4,0},
{-2,0,0,3,1},
{0,2,0,1,0},
{0,0,1,2,0},
{-2,0,0,4,1},
{-1,1,0,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]