Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
I- MnO4- H2O IO3- MnO2 OH-
a b c p q r
I 1 1
Mn 1 1
O 4 1 3 2 1
H 2 1
náboj -1 -1 -1 -1

Bilance prvků

I: + 1·a = + 1·p
Mn: + 1·b = + 1·q
O: + 4·b + 1·c = + 3·p + 2·q + 1·r
H: + 2·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

-1·a -1·b +0·c = -1·p +0·q -1·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*p,
 + 1*b== + 1*q,
 + 4*b + 1*c== + 3*p + 2*q + 1*r,
 + 2*c== + 1*r,
 -1*a -1*b +0*c== -1*p +0*q -1*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 2; c = 1; p = 1; q = 2; r = 2

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-7-4.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
-1,0,1,0,0;
-1,0,0,1,4;
0,2,0,0,1;
-1,0,1,0,3;
0,0,0,1,2;
-1,1,0,0,1]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  -1   0   1   0   0
  -1   0   0   1   4
   0   2   0   0   1
  -1   0   1   0   3
   0   0   0   1   2
  -1   1   0   0   1

hodnost = 5
b =

  -1  -1   0  -1   0  -1
   0   0   2   0   0   1
   1   0   0   1   0   0
   0   1   0   0   1   0
   0   4   1   3   2   1

c =

  -0.25820
  -0.51640
  -0.25820
   0.25820
   0.51640
   0.51640

reseni =

   1.0000   2.0000   1.0000  -1.0000  -2.0000  -2.0000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{-1,0,1,0,0},
{-1,0,0,1,4},
{0,2,0,0,1},
{-1,0,1,0,3},
{0,0,0,1,2},
{-1,1,0,0,1}}
NullSpace[Transpose[m]]