Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
Cr2O3 NaNO3 Na2CO3 Na2CrO4 NaNO2 CO2
a b c p q r
Cr 2 1
O 3 3 3 4 2 2
Na 1 2 2 1
N 1 1
C 1 1
náboj

Bilance prvků

Cr: + 2·a = + 1·p
O: + 3·a + 3·b + 3·c = + 4·p + 2·q + 2·r
Na: + 1·b + 2·c = + 2·p + 1·q
N: + 1·b = + 1·q
C: + 1·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +0·b +0·c = +0·p +0·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 2*a== + 1*p,
 + 3*a + 3*b + 3*c== + 4*p + 2*q + 2*r,
 + 1*b + 2*c== + 2*p + 1*q,
 + 1*b== + 1*q,
 + 1*c== + 1*r,
 +0*a +0*b +0*c== +0*p +0*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 3; c = 2; p = 2; q = 3; r = 2

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-6-3.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,0,2,0,0,3;
0,0,0,1,1,3;
0,1,0,0,2,3;
0,0,1,0,2,4;
0,0,0,1,1,2;
0,1,0,0,0,2]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  0  0  2  0  0  3
  0  0  0  1  1  3
  0  1  0  0  2  3
  0  0  1  0  2  4
  0  0  0  1  1  2
  0  1  0  0  0  2

hodnost = 5
b =

  0  0  0  0  0  0
  0  0  1  0  0  1
  2  0  0  1  0  0
  0  1  0  0  1  0
  0  1  2  2  1  0
  3  3  3  4  2  2

c =

  -0.17961
  -0.53882
  -0.35921
   0.35921
   0.53882
   0.35921

reseni =

   1.0000   3.0000   2.0000  -2.0000  -3.0000  -2.0000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,0,2,0,0,3},
{0,0,0,1,1,3},
{0,1,0,0,2,3},
{0,0,1,0,2,4},
{0,0,0,1,1,2},
{0,1,0,0,0,2}}
NullSpace[Transpose[m]]