Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
K2Cr2O7 SO2 H2SO4 Cr2(SO4)3 K2SO4 H2O
a b c p q r
K 2 2
Cr 2 2
O 7 2 4 12 4 1
S 1 1 3 1
H 2 2
náboj

Bilance prvků

K: + 2·a = + 2·q
Cr: + 2·a = + 2·p
O: + 7·a + 2·b + 4·c = + 12·p + 4·q + 1·r
S: + 1·b + 1·c = + 3·p + 1·q
H: + 2·c = + 2·r

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +0·b +0·c = +0·p +0·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 2*a== + 2*q,
 + 2*a== + 2*p,
 + 7*a + 2*b + 4*c== + 12*p + 4*q + 1*r,
 + 1*b + 1*c== + 3*p + 1*q,
 + 2*c== + 2*r,
 +0*a +0*b +0*c== +0*p +0*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 3; c = 1; p = 1; q = 1; r = 1

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-5-16.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,2,0,2,7,0;
0,0,0,0,2,1;
0,0,2,0,4,1;
0,2,0,0,12,3;
0,0,0,2,4,1;
0,0,2,0,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

   0   2   0   2   7   0
   0   0   0   0   2   1
   0   0   2   0   4   1
   0   2   0   0  12   3
   0   0   0   2   4   1
   0   0   2   0   1   0

hodnost = 5
b =

   0   0   0   0   0   0
   2   0   0   2   0   0
   0   0   2   0   0   2
   2   0   0   0   2   0
   7   2   4  12   4   1
   0   1   1   3   1   0

c =

   0.26726
   0.80178
   0.26726
  -0.26726
  -0.26726
  -0.26726

reseni =

   1.00000   3.00000   1.00000  -1.00000  -1.00000  -1.00000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,2,0,2,7,0},
{0,0,0,0,2,1},
{0,0,2,0,4,1},
{0,2,0,0,12,3},
{0,0,0,2,4,1},
{0,0,2,0,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]