Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
[Pb(OH)4]2- ClO- PbO2 Cl- OH- H2O
a b p q r s
Pb 1 1
O 4 1 2 1 1
H 4 1 2
Cl 1 1
náboj -2 -1 -1 -1

Bilance prvků

Pb: + 1·a = + 1·p
O: + 4·a + 1·b = + 2·p + 1·r + 1·s
H: + 4·a = + 1·r + 2·s
Cl: + 1·b = + 1·q

Bilance elektronů (náboje)

-2·a -1·b = +0·p -1·q -1·r +0·s

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*p,
 + 4*a + 1*b== + 2*p + 1*r + 1*s,
 + 4*a== + 1*r + 2*s,
 + 1*b== + 1*q,
 -2*a -1*b== +0*p -1*q -1*r +0*s}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 1; p = 1; q = 1; r = 2; s = 1

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-4-8.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
-2,0,4,4,1;
-1,1,0,1,0;
0,0,0,2,1;
-1,1,0,0,0;
-1,0,1,1,0;
0,0,2,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  -2   0   4   4   1
  -1   1   0   1   0
   0   0   0   2   1
  -1   1   0   0   0
  -1   0   1   1   0
   0   0   2   1   0

hodnost = 5
b =

  -2  -1   0  -1  -1   0
   0   1   0   1   0   0
   4   0   0   0   1   2
   4   1   2   0   1   1
   1   0   1   0   0   0

c =

   0.33333
   0.33333
  -0.33333
  -0.33333
  -0.66667
  -0.33333

reseni =

   1.00000   1.00000  -1.00000  -1.00000  -2.00000  -1.00000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{-2,0,4,4,1},
{-1,1,0,1,0},
{0,0,0,2,1},
{-1,1,0,0,0},
{-1,0,1,1,0},
{0,0,2,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]