Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
AuCl3 SO2 Na2CO3 Au Na2SO4 CO2 NaCl
a b c p q r s
Au 1 1
Cl 3 1
S 1 1
O 2 3 4 2
Na 2 2 1
C 1 1
náboj

Bilance prvků

Au: + 1·a = + 1·p
Cl: + 3·a = + 1·s
S: + 1·b = + 1·q
O: + 2·b + 3·c = + 4·q + 2·r
Na: + 2·c = + 2·q + 1·s
C: + 1·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +0·b +0·c = +0·p +0·q +0·r +0·s

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*p,
 + 3*a== + 1*s,
 + 1*b== + 1*q,
 + 2*b + 3*c== + 4*q + 2*r,
 + 2*c== + 2*q + 1*s,
 + 1*c== + 1*r,
 +0*a +0*b +0*c== +0*p +0*q +0*r +0*s}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 7, počet nezávislých rovnic je: 6. Počet stupňů volnosti je tedy: 7 - 6 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 2; b = 3; c = 6; p = 2; q = 3; r = 6; s = 6

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-4-7.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,1,0,3,0,0,0;
0,0,0,0,0,2,1;
0,0,1,0,2,3,0;
0,1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,2,4,1;
0,0,1,0,0,2,0;
0,0,0,1,1,0,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  0  1  0  3  0  0  0
  0  0  0  0  0  2  1
  0  0  1  0  2  3  0
  0  1  0  0  0  0  0
  0  0  0  0  2  4  1
  0  0  1  0  0  2  0
  0  0  0  1  1  0  0

hodnost = 6
b =

  0  0  0  0  0  0  0
  1  0  0  1  0  0  0
  0  0  1  0  0  1  0
  3  0  0  0  0  0  1
  0  0  2  0  2  0  1
  0  2  3  0  4  2  0
  0  1  0  0  1  0  0

c =

  -0.17277
  -0.25916
  -0.51832
   0.17277
   0.25916
   0.51832
   0.51832

reseni =

   1.0000   1.5000   3.0000  -1.0000  -1.5000  -3.0000  -3.0000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,1,0,3,0,0,0},
{0,0,0,0,0,2,1},
{0,0,1,0,2,3,0},
{0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,2,4,1},
{0,0,1,0,0,2,0},
{0,0,0,1,1,0,0}}
NullSpace[Transpose[m]]