Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
As2S3 NaNO3 Na2CO3 Na3AsO4 Na2SO4 CO2 NaNO2
a b c p q r s
As 2 1
S 3 1
Na 1 2 3 2 1
N 1 1
O 3 3 4 4 2 2
C 1 1
náboj

Bilance prvků

As: + 2·a = + 1·p
S: + 3·a = + 1·q
Na: + 1·b + 2·c = + 3·p + 2·q + 1·s
N: + 1·b = + 1·s
O: + 3·b + 3·c = + 4·p + 4·q + 2·r + 2·s
C: + 1·c = + 1·r

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +0·b +0·c = +0·p +0·q +0·r +0·s

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 2*a== + 1*p,
 + 3*a== + 1*q,
 + 1*b + 2*c== + 3*p + 2*q + 1*s,
 + 1*b== + 1*s,
 + 3*b + 3*c== + 4*p + 4*q + 2*r + 2*s,
 + 1*c== + 1*r,
 +0*a +0*b +0*c== +0*p +0*q +0*r +0*s}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 7, počet nezávislých rovnic je: 6. Počet stupňů volnosti je tedy: 7 - 6 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 14; c = 6; p = 2; q = 3; r = 6; s = 14

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-1-5.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,2,0,0,0,0,3;
0,0,0,1,1,3,0;
0,0,1,0,2,3,0;
0,1,0,0,3,4,0;
0,0,0,0,2,4,1;
0,0,1,0,0,2,0;
0,0,0,1,1,2,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  0  2  0  0  0  0  3
  0  0  0  1  1  3  0
  0  0  1  0  2  3  0
  0  1  0  0  3  4  0
  0  0  0  0  2  4  1
  0  0  1  0  0  2  0
  0  0  0  1  1  2  0

hodnost = 6
b =

  0  0  0  0  0  0  0
  2  0  0  1  0  0  0
  0  0  1  0  0  1  0
  0  1  0  0  0  0  1
  0  1  2  3  2  0  1
  0  3  3  4  4  2  2
  3  0  0  0  1  0  0

c =

   0.045739
   0.640345
   0.274434
  -0.091478
  -0.137217
  -0.274434
  -0.640345

reseni =

    1.0000   14.0000    6.0000   -2.0000   -3.0000   -6.0000  -14.0000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,2,0,0,0,0,3},
{0,0,0,1,1,3,0},
{0,0,1,0,2,3,0},
{0,1,0,0,3,4,0},
{0,0,0,0,2,4,1},
{0,0,1,0,0,2,0},
{0,0,0,1,1,2,0}}
NullSpace[Transpose[m]]