Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
Na2B4O7 HCl H2O H3BO3 NaCl
a b c p q
Na 2 1
B 4 1
O 7 1 3
H 1 2 3
Cl 1 1
náboj

Bilance prvků

Na: + 2·a = + 1·q
B: + 4·a = + 1·p
O: + 7·a + 1·c = + 3·p
H: + 1·b + 2·c = + 3·p
Cl: + 1·b = + 1·q

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +0·b +0·c = +0·p +0·q

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 2*a== + 1*q,
 + 4*a== + 1*p,
 + 7*a + 1*c== + 3*p,
 + 1*b + 2*c== + 3*p,
 + 1*b== + 1*q,
 +0*a +0*b +0*c== +0*p +0*q}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 5, počet nezávislých rovnic je: 4. Počet stupňů volnosti je tedy: 5 - 4 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 1; b = 2; c = 5; p = 4; q = 2

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-1-2.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,4,0,0,2,7;
0,0,1,1,0,0;
0,0,0,2,0,1;
0,1,0,3,0,3;
0,0,1,0,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

  0  4  0  0  2  7
  0  0  1  1  0  0
  0  0  0  2  0  1
  0  1  0  3  0  3
  0  0  1  0  1  0

hodnost = 4
b =

  0  0  0  0  0
  4  0  0  1  0
  0  1  0  0  1
  0  1  2  3  0
  2  0  0  0  1
  7  0  1  3  0

c =

  -0.14142
  -0.28284
  -0.70711
   0.56569
   0.28284

reseni =

   1.0000   2.0000   5.0000  -4.0000  -2.0000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,4,0,0,2,7},
{0,0,1,1,0,0},
{0,0,0,2,0,1},
{0,1,0,3,0,3},
{0,0,1,0,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]