Dodatek - vyčíslení bilancí prvků a náboje a maticovou metodou

Matice

Reaktanty Produkty
PbO2 Mn2+ H+ MnO4- Pb2+ H2O
a b c p q r
Pb 1 1
O 2 4 1
Mn 1 1
H 1 2
náboj 2 1 -1 2

Bilance prvků

Pb: + 1·a = + 1·q
O: + 2·a = + 4·p + 1·r
Mn: + 1·b = + 1·p
H: + 1·c = + 2·r

Bilance elektronů (náboje)

+0·a +2·b +1·c = -1·p +2·q +0·r

Zadání pro program Mathematica

eqns = {
 + 1*a== + 1*q,
 + 2*a== + 4*p + 1*r,
 + 1*b== + 1*p,
 + 1*c== + 2*r,
 +0*a +2*b +1*c== -1*p +2*q +0*r}
Solve[eqns]

Neznámých koeficientů je: 6, počet nezávislých rovnic je: 5. Počet stupňů volnosti je tedy: 6 - 5 = 1. Jedno z možných řešení je:

a = 5; b = 2; c = 4; p = 2; q = 5; r = 2

Zadání (program Octave/Matlab) reaction_id-1-1.m

% 
% Jiri Jirat
% Prague Institute of Chemical Technology
% 

%
% matice - 1. sloupec naboj, dalsi sloupce prvky
%
a = [
0,0,0,2,1;
2,0,1,0,0;
1,1,0,0,0;
-1,0,1,4,0;
2,0,0,0,1;
0,2,0,1,0]
hodnost = rank(a)  % hodnost matice = pocet nezavislych rovnic
b = a'             % transpozice matice
c = null(b)        % nalezeni baze nuloveho prostoru matice b
reseni = rref(c')  % upravy na "row reduced echelon form"

Řešení (program Octave/Matlab) 

a =

   0   0   0   2   1
   2   0   1   0   0
   1   1   0   0   0
  -1   0   1   4   0
   2   0   0   0   1
   0   2   0   1   0

hodnost = 5
b =

   0   2   1  -1   2   0
   0   0   1   0   0   2
   0   1   0   1   0   0
   2   0   0   4   0   1
   1   0   0   0   1   0

c =

  -0.56614
  -0.22646
  -0.45291
   0.22646
   0.56614
   0.22646

reseni =

   1.00000   0.40000   0.80000  -0.40000  -1.00000  -0.40000

Zadání (program Mathematica) 

m = {
{0,0,0,2,1},
{2,0,1,0,0},
{1,1,0,0,0},
{-1,0,1,4,0},
{2,0,0,0,1},
{0,2,0,1,0}}
NullSpace[Transpose[m]]